Produit vectoriel Définition Ce paragraphe est spécifique à l'espace ℝ 3 avec le produit scalaire usuel. Soit u et v deux vecteurs quelconques. On peut donner un sens à "l'aire algébrique du parallélogramme construit sur u et v". Si u est représenté par le bipoint (O, A) et v par le bipoint (O, B). Cette aire est en valeur absolue le double de celle du triangle OAB. Notons la S(u, v). 🔎 Produit vectoriel - Propriétés. Cette aire est une forme bilinéaire alternée puisque elle est égale au déterminant des deux vecteurs dans leur plan. Le 'produit vectoriel' de u et v, noté u ∧ v, est le vecteur w ainsi défini: Si u et v sont colinéaires alors w =0. Dans le cas contraire w est le vecteur orthogonal au plan engendré par u et v, de module S(u, v), et dont le sens est tel que (u, v, w) soit une base directe. Image: L'appliquette qui suit vous permet de voir un produit vectoriel. Premier curseur: multiplication de v, qui au départ à la même norme que u par un facteur entre -2 et 2. Second curseur: rotation de v autour de l'axe Oz.
Propriétés Propriétés algébriques Le produit vectoriel est un produit distributif, anticommutatif, non associatif: Ces propriétés découlent immédiatement de la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la... ) du produit vectoriel (En mathématiques, et plus précisément en géométrie, le produit vectoriel... Propriétés produit vectoriel sans. ) par le produit mixte et des propriétés algébriques du déterminant. Comme crochet de Lie, le produit vectoriel satisfait l'identité de Jacobi: D'autre part, il satisfait aux identités de Lagrange ( Égalités du Double produit vectoriel): En partant de l'identité algébrique:, on peut démontrer facilement l'égalité ( Identité de Lagrange): que l'on peut aussi écrire sous la forme: ce qui équivaut à l'identité trigonométrique:, et qui n'est rien d'autre qu'une des façons d'écrire le théorème de Pythagore (Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui... ). Invariance par isométries Le produit vectoriel est invariant par l'action des isométries vectorielles directes.
De norme, o est l'angle entre et Commençons par la première propriété P3. 1 (première importance en physique! ): (12. 111) ce qui montre bien que le vecteur est perpendiculaire au vecteur résultant du produit vectoriel entre et! Terminons avec la deuxième propriété P3. 2 (aussi de première importance en physique! Propriétés produit vectorielle. ): Soit le carré de la norme du produit vectoriel. D'après la définition du produit vectoriel nous avons: (12. 112) Donc finalement: (12. 113) Nous remarquerons que dans le cas o E est l'espace vectoriel géométrique, la norme du produit vectoriel représente l'aire du parallélogramme construit sur des représentants et d'origine commune. (12. 114) Si et linéairement indépendants, le triplet et donc aussi le triplet sont directs. En effet, étant les composantes de (dans la base), le déterminant de passage de (par exemple) s'écrit: (12. 115) Ce déterminant est donc positif, puisqu'au moins un des n'est pas nul, d'après la troisième propriété d'indépendance linéaire du produit vectoriel.